L’un, qui est rare, s’écrit « bayer ». Il se rencontre seulement dans l’expression « bayer aux corneilles », qui signifie « perdre son temps en regardant en l’air sottement, la bouche ouverte ». Historiquement, c’est une variante de « béer » : littéralement, on est « bouche bée » (ouverte). « Bayer » garde son « y » dans toute sa conjugaison.

Le verbe « bâiller » s’écrit, lui, avec un accent circonflexe. Il est issu du même verbe latin que « béer », dont il est proche par le sens : « ouvrir involontairement la bouche » ou « être entrouvert ». On peut « bâiller à se décrocher la mâchoire ». Une porte aussi peut bâiller.

Le troisième, « bailler », qui n’a pas d’accent, n’a pas de rapport de sens avec les précédents. Issu du latin « bajulare », « porter », il signifie « donner » et s’emploie surtout dans l’expression vieillie « vous me la baillez belle (ou bonne) », expression ironique signifiant « vous cherchez m’en faire accroire, à me tromper », qui vient du jeu de paume, « vous me donnez la balle d’une belle façon ». Boris Vian s’en est amusé dans « L’Arrache-cœur » :

« Oh ! Oh ! persifla Jacquemort, vous me la baillez belle ! — Je ne baille personne, maréchala le ferrant ».